Fenomeno della doppia risonanza

Le componenti strutturali di un edificio quali: altezza, massa, sistemi a telaio, pareti portanti, strutture a nucleo, ecc., concorrono a determinare la frequenza propria di vibrazione dell’opera. Per la determinazione della frequenza fondamentale di un edificio è possibile seguire tre differenti approcci:

• approccio semplificato, basato su formulazioni normative
• approccio analitico, fondato su calcoli ingegneristici strutturali che prevedono il rilievo geometrico dell’opera e la caratterizzazione meccanica dei materiali;
• approccio empirico-sperimentale, basato su analisi vibrometriche mediante l’impiego di terne di velocimetri triassiali.

L’approccio semplificato fa riferimento alle indicazioni contenute nell’Eurocodice 8 (EC8) e nelle Norme Tecniche per le Costruzioni 2018 (NTC 2018).

L’EC8 propone una formula empirica e speditiva per la stima del periodo fondamentale di vibrazione T₁, correlato alla frequenza fondamentale dell’edificio ⨍₀:

T₁=C_t(H)^$3/4$

Dove H rappresenta l’altezza dell’edificio e C_t un coefficiente specifico per la tipologia di edificio oggetto di studio:

• 0.085 per telai spaziali di acciaio a nodi rigidi;
• 0.075 per telai spaziali di cemento armato a nodi rigidi e per controventi eccentrici;
• 0.050 per tutte le altre strutture;

Le NTC 2018, al paragrafo 7.3.3.2, indicano che il periodo fondamentale T₁ può essere calcolato, nei casi in cui risulti inferiore a 2,5⋅T_co 2,5⋅T_D, mediante la seguente relazione:

T₁=2×√d

Dove d corrisponde allo spostamento laterale elastico del punto più alto dell’edificio. Questo metodo fornisce una valutazione approssimata ed è applicabile esclusivamente agli edifici che rispettano i vincoli e le condizioni previste dalle NTC 2018.

In entrambi gli approcci, il periodo fondamentale T₁ è espresso in secondi ed è direttamente correlabile alla frequenza f₀, espressa in Hertz, tramite la relazione:

$$ T_1 = \frac{1}{f_0} $$

Contesto Geologico

terreni posti al di sotto delle fondazioni dell’opera oggetto di studio non sono caratterizzati unicamente da proprietà geotecniche quali: angolo di attrito, coesione efficace, peso di volume e altri parametri fondamentali per la progettazione strutturale; ma anche da proprietà dinamiche di primaria importanza, come la velocità di propagazione delle onde sismiche e la frequenza fondamentale del terreno.

Nello specifico, la frequenza fondamentale di un terreno rappresenta la frequenza alla quale si manifesta la massima amplificazione delle vibrazioni in presenza di una sollecitazione dinamica, ad esempio un evento sismico. Tale parametro dipende principalmente da due fattori:

• lo spessore dello strato di terreno
• la velocità di propagazione delle onde di taglio (Vs) all’interno del materiale. 

Una stima approssimativa della frequenza fondamentale del terreno può essere ottenuta mediante la relazione

$$ f_0 = \frac{V_s}{4H} $$

dove H rappresenta lo spessore del deposito e V_s è la velocità delle onde di taglio nel terreno.  

Questo fenomeno riveste un ruolo centrale nell’ingegneria sismica, poiché quando le onde sismiche generate da un terremoto contengono componenti con frequenze prossime a quella propria del terreno, tali componenti possono subire una significativa amplificazione lungo il percorso che va dal bedrock sismico fino alla superficie topografica. Di conseguenza, anche eventi sismici caratterizzati da magnitudo momento contenuta possono produrre danni rilevanti a edifici e infrastrutture, qualora si verifichino condizioni di risonanza tra il moto sismico e le caratteristiche dinamiche dei terreni di fondazione.

Verifica della doppia risonanza

Al fine di individuare la possibile insorgenza di fenomeni di doppia risonanza (DR), è necessario verificare il grado di sovrapposizione tra la frequenza fondamentale del terreno e la frequenza propria dell’edificio oggetto di studio. Questa verifica può essere effettuata mediante il seguente indice di doppia risonanza:

$$ DR = \frac{|f_{0s} – f_{0e}|}{f_{0min}} \times 100 $$

Dove:

• f_0s è la frequenza fondamentale della sorgente;
• f_0e è la frequenza dell’edificio;
• f_0min è la frequenza minore tra le due.

In letteratura sono proposti diversi intervalli di riferimento per la valutazione della doppia risonanza. In particolare, il software Dual Echo di Geostru considera che per valori di DR ≤ 50% l’edificio possa entrare in condizioni di risonanza. Studi successivi, tra cui quelli sviluppati da Clinton et al. (2006), suggeriscono invece soglie più restrittive, indicando come critici valori di DR inferiori indicativamente al 20/30%.

Casi Studio

Il caso più noto di doppia risonanza suolo–struttura documentato in letteratura è legato al terremoto del Messico del 19 settembre 1985. L’evento, di magnitudo momento Mw 8.1, ebbe epicentro lungo la costa pacifica del Messico, a oltre 350 km da Città del Messico, ma, nonostante ciò, provocò danni ingenti anche nella capitale.

Le onde sismiche generate dal processo di subduzione, a una profondità di circa 15 km, erano infatti dominate da componenti a bassa frequenza (circa 0,5–1 Hz), che entrarono in risonanza con i depositi fini e soffici presenti al di sotto della città. Città del Messico sorge infatti su un antico bacino lacustre, caratterizzato da sedimenti alluvionali a elevata deformabilità e notevole spessore ed è inoltre inserita in un bacino geografico chiuso: condizioni che rappresentano elementi ideali per una marcata amplificazione delle onde sismiche.

Le frequenze del moto sismico coincidevano inoltre con le frequenze proprie di edifici di media altezza (tipicamente compresi tra 6 e 15 piani), determinando una forte amplificazione della risposta strutturale e causando danni ingenti, tra cui crolli a “pancake” e gravi deformazioni strutturali.

In pratica: il terreno, le onde sismiche e gli edifici avevano frequenze simili, creando un fenomeno di doppia (o multipla) risonanza che ha esacerbato i danni a scala urbana nonostante la notevole distanza dall’epicentro.

Un ulteriore esempio degno di nota è rappresentato dal terremoto dell’Emilia del 2012, una sequenza sismica che ha interessato il distretto sismico della Pianura Padana Emiliana, con una scossa principale di magnitudo Mw 5.9 e profondità ipocentrale di circa 6,3 km.

Nello specifico gli studi condotti da Castellaro et al. (2012) hanno analizzato due edifici multipiano, entrambi alti 56 m, esteticamente molto simili e situati nel settore settentrionale della città di Bologna, a soli 120 m di distanza l’uno dall’altro. A seguito del terremoto principale, la torre A non ha riportato danni evidenti, mentre la torre B ha manifestato numerosi danni, seppur di natura prevalentemente non strutturale, quali distacchi di intonaco e fessurazioni delle tramezze, tali da rendere necessari interventi di ripristino.